블랙잭확률에 근거한 필승전략

수학자는 도박에 능하다? 모든 수학자들이 그런 것은 아니겠지만 확률을 분석할 줄 아는 능력이 있으면 도박에서 돈을 딸 가능성이 높은 것은 사실이다. 외국에서는 수학자들이 도박게임의 승률과 성공전략을 수학적으로 증명, 학회에서 발표하는 일이 흔하며 이를 통해 새로운 확률, 통계이론을 발전시켜왔다. 최근 세계증시의 심장인 뉴욕 월가에서 수학자들이 각광을 받는 이유 역시 이러한 확률, 통계이론에 근거한 과학적 "투자도박"을 하기 때문이다. 수학자 에드워드 솔프는 60년 "행운의 공식:블랙잭의 필승전략"을 미국수학회 정기총회에서 발표, 화제를 모았다. 그는 재력가들로부터 1만달러(약 1,200만원)을 제공받아 30시간만에 2만달러로 불림으로써 이론을 증명했다. 블랙잭은 카드를 받아 합이 21(10 J Q K는 10, A는 1또는 11로 계산)을 넘지 않으면서 21에 가까울수록 이기는 게임. 솔프의 전략은 나온 패를 기억하는 "카운팅"이 기본이다. 이를 바탕으로

 o 자신의 패의 합이 11이하이면 카드를 더 받고

 o 17이상이면 카드를 더 받지 않고

 o 12-16일 경우 딜러가 뒤집어 놓은 패가 7-A이면(딜러의 숨은 패는 10이라고 가정) 카드를 더 받고

 o 딜러의 패가 2-6이면 카드를 그만 받고

 o 딜러의 카드가 A인 경우 자신의 패와 옆 사람 패에 10이 없다면 보험을 든다는 등 확률에 근거한 승부전략을 세운 것이다.

확률적으로 고객에게 가장 유리한 도박게임은 블랙잭, 다음이 크랩이며 바카라나 룰렛은 절대 이길 수 없는 게임이라는 사실도 수학적으로 증명되어 있다. 우리나라 사람들이 즐기는 고스톱은 패를 뒤집어 치는 과정이 있어 카운팅이 카드보다 복잡하다. 그러나 아무리 고객들이 유리한 도박이라 해도 카지노는 언제나 고객보다 돈을 많이 딴다. 정확한 카운팅과 흔들리지 않는 심리전이 쉽지 않기 때문이다.

  ①블랙잭에 필승전략1

<이미 나온 카드 기억하는 [카운팅 전략]으로 승률 높여>

카지노에서 흔히 즐기는 블랙잭(Blackjack)이 확률적으로 손님에게 유리한 게임이라는 사실을 아는 사람은 거의 없다. 그러나 카지노 게임 중에서 유일하게 [따는 게임]이라는 사실은 1950년대에 수학적으로 증명되었다. 블랙잭 게임을 카지노에서 고안해냈고, 또 실제로 이 게임으로 많은 돈을 벌고 있다는 사실을 감안하면 흥미롭다고 할 수 있다.

블랙잭은 1930년대 파리의 카지노에서 처음 소개되었다. 이 게임은 초창기부터 많은 돈을 벌어들여 카지노측에 아주 유리한 게임으로 알려졌다. 하지만 실상은 전혀 다르다는 것이 1950년대 초 벨랩(Bell Lab)에 근무하는 수학자 4명(Baldwin, Cantey, Herbert, McDermott)의 공동 연구에 의해 입증되었다.

당시만 해도 전산기가 널리 쓰이기 전이었기 때문에, 이들은 소형 계산기를 이용해 블랙잭의 확률을 계산했고 이를 바탕으로 블랙잭 게임의 [기본 전략(Basic Strategy)]을 개발했다. 고객이 이 전략을 쓸 경우 [카지노측의 이점은 0.62%에 불과하다 (즉, 카지노측이 50.62대 49.38로 유리하다)]는 사실을 증명했다.

1956년 미국 통계학회지에 이 사실을 논문으로 발표한 이들은 이듬해 [이기려고 블랙잭을 해라:블랙잭의 새로운 전략(Playing to win : A new Strategy for the game of 21)]이란 저서를 발간해 새로 개발한 기본전략을 설명했다.

이들의 계산은 몇년 후 약간의 실수가 발견되었고, 전산기를 이용해 보다 정확히 계산한 결과 오히려 고객이 0.1% 정도 유리한 게임인 것이 증명되었다. 따라서 카지노가 블랙잭으로 돈을 버는 것은 이 게임이 카지노측에 유리한 때문이 아니라, 고객이 게임을 잘 운영하지 못하는 덕분인 셈이다.

이 전략이 개발되기 전에도 자칭 [필승 전략]들이 소개되곤 했는데 전산기로 검증한 결과, 이들 모두 2%에서 7% 사이로 고객에게 불리하다는 것이 증명됐다. 블랙잭에 이기는 [필승 전략]이라고 해서 모두 믿을만한 것은 아닌 셈이다.

미 UCLA대의 수학자인 에드워드 솔프는 기본 전략에 관계된 계산과 이론에 관심을 갖고 연구한 결과, 게임을 하는 카드들의 종류(낮은 수의 카드 또는 높은 수의 카드 등)에 따라서 확률이 변한다는 사실을 발견했다.

블랙잭은 카드를 섞는데 소요되는 시간을 절약하기 위해 계속 진행되기 때문에 이미 나온 카드들을 기억하면 남은 카드의 종류를 알 수 있다. 이에 착안한 솔프는 이미 나온 카드들을 비교적 쉽게 기억할 수 있는 카운팅(Counting) 방법을 만들어서 기본 전략을 수정한 카운팅전략을 개발했다.

그는 카운팅 전략이 기본 전략에 비해 훨씬 높은 확률을 제공한다는 사실을 1959년 증명했다. 솔프가 1960년 미국 수학회 정기 총회에서 발표한 논문 [행운의 공식: 블랙잭의 필승 전략(Fortune's Formula : A winning strategy for Blackjack)]은 많은 사람들의 관심을 끌어 신문 TV 등을 통해 그의 카운팅 전략이 미국 전역에 알려지게 되었다.

솔프의 전략에 관심을 보인 많은 재력가들은 그에게 자본을 제공하겠다고 제의했고, 2명의 백만장자로부터 1만달러를 빌린 솔프는 네바다주의 한 카지노에서 30시간만에 1만달러를 벌어 자신의 전략을 입증했다. 2년 후 출판된 그의 저서 [딜러를 이겨라(Beat the Dealer)]는 뉴욕타임스 베스트셀러 목록에 들어갈 정도로 인기를 모았다.

카지노측은 당초 솔프의 카운팅 전략을 경시했지만, 그의 전략을 이용해 카지노에서 돈을 따는 사람들이 점차 늘어나면서 1964년 역사상 처음으로 블랙잭의 규칙을 고객에게 불리하도록 바꾸었다. 하지만 규칙 변경 후 일반손님들이 현저하게 줄자 본래의 규칙으로 되돌아갔다.

  ② 블랙잭의 필승전략2

< [더블 다운][스플릿] 유리…딜러 카드 한장 확인할수 있어 >

도박에서 돈을 잃고 싶어하는 사람들은 아무도 없다. 카지노게임도 마찬가지이다. 하지만 블랙잭의 [필승 전략]을 소개한다고 해서 카지노 게임을 권장하는 것은 아니라는 점을 분명히 하고 싶다. 다만 블랙잭의 경우, 카지노 게임이 손님에게 불리하다는 일반적인 통설이 성립되지 않는다는 것이 수학적인 분석을 통해 증명됐고, [필승 전략]이 존재한다는 점을 소개하려는 것이다.

그렇지만 이 [필승 전략]도 확률을 바탕으로 한다. 따라서 실제로 돈을 따기 위해서는 많은 노력과 시간을 투자해야 한다.

이 전략을 개발한 솔프 교수의 경우에도, 블랙잭으로 딴 돈보다는 훨씬 많은 돈을 그의 저서 [딜러를 이겨라]에서 벌었다. 솔프 교수의 카운팅 전략이 소개된지 20여년이 지났지만 아직도 카지노에서 규칙을 바꾸지 않고 많은 수익을 올리고 있는 것을보면, 이 전략을 터득해 성공하는 것이 쉽지 않다는 점을 알 수 있다. 우선 블랙잭을 모르는 독자들을 위해 게임 방법을 간단하게 설명한다.

카드 한벌은 52장이고 클럽(Club), 다이아몬드(Diamond), 하트(Heart), 스페이드(Spade)의 네가지 무늬마다 13장씩으로 되어 있다. 각무늬에는 숫자로 2부터 10까지, 그림은 J(Jack) ․ Q(Queen) ․ K(King) ․ A(Ace)가 있다.

블랙잭에서는 [2]부터 [10]까지는 카드에 적힌 숫자로, J․Q․K는 [10]으로, A는 [1] 또는 [11]로 계산한다. 여기에서 전체 카드의 약 1/3(정확하게는 4/13)이 [10]으로 계산된다는 점을 기억하는 것이 기본 전략을 이해하는데 도움이 된다.

블랙잭 게임은 딜러가 손님들과 자신에게 각각 카드 두 장씩을 나누어 주는 것으로 시작된다. 손님들이 받는 카드는 카지노에 따라 보여지기도 하고 감추기도 하지만, 딜러의 카드는 두장 가운데 한장은 항상 보여주게 된다.

손님은 처음 카드를 두 장 받은 뒤 더이상 카드를 받지 않겠다고 선언하던지(스탠드․stand), 카드 숫자의 합계가 [21]을 넘지않는 한 계속해서 카드 한 장씩을 더 받을수 있다(힛․hit). 마지막 손님이 원하는 카드를 모두 받은 후 딜러도 정해진 규칙에 따라 카드를 더 받거나 중단하게 된다. 딜러는 카드의 합계가 [16]이하이면 계속한 장씩 더 받아야 하고, 합이 [17]이 상이면 카드를 추가로 받을 수 없다.

블랙잭 게임에서 가장 좋은 카드패는 물론 처음 두장의 합계가 [21]이 되는 경우(A 카드와 10․J․Q․K 카드중 하나)인데, 이때를 [블랙잭] 또는 [내추럴(natural)]이라고 부른다.

카드를 받는 도중에 손님의 카드 합계가 [21]을 넘으면(버스트․bust) 딜러가 가진 카드 숫자에 관계없이 무조건 지게 된다.

[블랙잭]이나 [버스트]가 아닌 경우에는, 카드들의 합계가 높은 측이 이기고 같은 숫자이면 비긴다. [블랙잭] 카드패는 블랙잭이 아닌 [21]을 이긴다. 딜러와 숫자를 비교해 손님이 지면 돈을 잃고, 이기면 건 돈과 같은 액수를 벌게 된다. 손님이 [블랙잭]으로 이기면 건 돈의 1․5배를 딜러에게 받는다. 비겼을경우는 건 돈을 그대로 갖게 된다.

블랙잭 게임에서는 손님이 카드를 받다가 합계가 [21]을 넘으면 무조건 지는 규칙(딜러가 버스트했을 때도 적용됨) 때문에 카지노측이 크게 유리하다.

카지노측은 이때문에 손님들의 [피해]를 줄이기 위해(사실상 보다 많은 손님을 유혹하려는 목적이지만) 약간의 혜택을 주게된다. 즉, 손님이 [블랙잭]으로 이겼을 경우 1․5배를 내주고, 더블 다운(double down)과 스플릿(split)을 허용해주는 것이 그것이다.

더블 다운은 처음 카드 두 장을 받은 뒤 한 장만 더 받는 조건으로 처음 건 금액만큼 더 걸 수 있도록 허용하는 것이다. [10]으로 계산하는 카드가 약 1/3 있기 때문에 처음 두 장의 합계가 [11]이나 [10]일때 이 규칙을 이용하는 것이 유리하다.

스플릿은 처음 카드 두 장의 숫자가 똑같을 경우(예를 들어 [8]과 [8]), 같은 금액을 걸고 두 패로 나눠 플레이 하는 것이다. 스플릿한 패를 플레이하는 방법은 보통 패와 같지만 [A]와 [A]를 스플릿할 경우에는 한장씩만 더 받는다. 예컨대, 처음 두장의 카드가 [8]과 [8]일 경우, 합계 [16]인 하나의 패로 플레이 하거나, 한장씩 분리해 두 패로 플레이 할 수 있다.

더블 다운이나 스플릿은 처음 두 장의 카드를 받고 딜러의 카드 한 장을 보고난 뒤 결정하기 때문에 효율적으로 운용하면 손님에게 상당히 유리한 규칙이다.

  ③ 블랙잭의 필승 전략3

 <[보험]은 확률 계산해 들어라>

♧ 블랙잭을 하다 보면 딜러가 보험(insurance)에 들겠느냐고 물을때가 있다. 처음에 카드 두 장씩을 받은 후 딜러가 보여주는 카드(업 카드․up card)가 [A] 카드인 경우 손님은 자신이 건 돈의 절반까지 보험을 들 수 있다.

딜러가 감추어진 카드(홀 카드․hole card)를 확인하고 블랙잭이 나오면 보험금의 두 배를 손님에게 지급하고, 그렇지 않으면 보험금을 따먹게 된다.

[보험]이라고 부르는 이유는 블랙잭 패를 갖지 못한 손님이 건 돈의 절반만큼 보험을 샀을경우 딜러가 블랙잭이 나오면 처음 건 돈을 모두 잃어도 보험금의 두배를 돌려받게 돼 결과적으로는 전혀 손해를 보지 않기 때문이다. 이름이야 어떻든 [보험]은 딜러의 숨겨진 카드가 [10] 자리 카드인지를 맞추는 게임으로, 화투 놀이인 섯다의 [망통먹기]와 같다고 보면 된다.

확률적으로 보면 보험은 공평한 게임이다. 딜러의 홀 카드가 [10] 짜리일 확률을 1/3이라고 할 때 두배의 보험금을 지급하므로 기대값은 1/3×(2×보험금)+2/3(보험금)=0 이기 때문이다. 하지만 카드 한벌 52장 가운데 [10]짜리 카드는 16장(네가지 무늬의 10, J, Q, K)이므로 실제 맞출 확률은 16/52=13/4로 1/3(4/12)보다는 작다. 따라서 남은 카드중 [10]짜리 카드의 비율이 1/3을 넘는다는 확신이 없는 한 보험을 사는 것은 바람직하지 않다.

예를 들어 카드를 섞은 뒤 첫 판에서 딜러의 업 카드가 [A]이고 자신의 패가 [7-9]라고 하자. 이때 자기 패 밖에 볼 수 없다면, 남은 카드 가운데 [10]짜리의 비율은 16/49로 1/3(16/48)보다 작기 때문에 보험을 사는 것이 불리하다.

하지만 옆 자리의 패에도 [10]짜리 카드가 없다는 것을 알았다면 [10]짜리 카드의 비율은 16/47로 1/3보다 커져 보험을 사는것이 유리하게 된다. 확률적으로 유리해 보험을 살 때에는 최대 금액(건 돈의 절반)만큼 사는 것이 좋다.

손님이 블랙잭 패를 받았을 때 흔히 저지르는 실수가 있다. 딜러는 이때 보험을 사겠느냐고 묻지않고 [1배 배당(1.5배가 아니라)만 받겠느냐]고 묻는다. 절반의 보험을 샀을 경우 딜러가 블랙잭이면 처음 건 돈은 비기지만 보험에서 1배를 따고,블랙잭이 아니면 건 돈의 1.5배를 따지만 보험금으로 절반을 잃게 돼 역시 1배만 따게 돼 마찬가지라는 계산이다.

많은 사람들이 확실히 딴다는 유혹 때문에 1배 배당만 받고 말지만 이는 더 많은 돈을 딸 수 있는 기회를 포기하는 것과 같다. 앞서 지적한 것처럼 [보험]은 자신의 패와는 별개의 게임이기 때문에 확률에 의거해 결정을 내려야 한다. 카운팅(counting)을 전제로 하지 않는 기본 전략에서는 보험을 사지 않는다.

  ③ 블랙잭의 필승 전략3

<`하이로' 카운팅, 실전에선 최고…베팅효율도 97%로 거의 완벽 >

블랙잭의 카운팅 전략을 배우려면 어떤 방법이 가장 효과적일까? 우선 수많은 전략들 가운데 골라야 하는데 저마다 가장 효과적인 방법이라고 선전하고 있어 혼동되기 쉽다. 결론부터 말하면 습득의 난이도나 전략의 효율을 생각할 때 아래에서 설명할 [하이로(High-Low)] 카운팅이 가장 좋은 선택이라고 할 수 있다.

카운팅 전략에는 두 가지 요소가 있다. 첫째는 이미 나온 카드로부터 현재의 상황을 수치로 나타내는 방법이고, 둘째는 이 수치에 근거한 베팅과 플레이 전략이다. 전략의 효율은 유리한 상황을 포착하는 [베팅 효율(BettingEfficiency)]과 완벽한 플레이를 도와주는 [플레이 효율(Playing Efficiency)]로 나누어 계산한다.  

솔프 교수의 [카운팅-10] 전략은 두 종류(10자 카드와 10자가 아닌카드)의 카드 숫자를 기억해야 하고, 이들의 비율을 계산해야 하기 때문에 실전에 쓰기까지 상당한 노력이 필요하다. 이 전략은 베팅 효율72%, 플레이 효율 61%로 처음으로 실전에서 효과를 입증했다는 역사적의미 이외에는 별 가치가 없다. 아무 노력없이 쓸 수 있는 [카운팅-5]전략은 베팅 효율 41%, 플레이 효율 14%로 [싼 게 비지떡]이란 표현에 지나침이 없다.

 카운팅-10 전략과 비교해 훨씬 익히기 쉬운 하이로 카운팅은 1963년 하비듀브너(Harvey Dubner)가 개발했다. 이 방법은 각 카드에 아래 테이블과 같은 정수값을 정해주고 카드가 나오는 대로 그들의 값을 더한 [현재 점수(running count)]를 사용한다. 

시작할 때는 현재 점수를 0으로 한다. 예를 들어 처음 7장이 3, A,8, 5,4, J, 2 라 가정하면 현재 점수는 2가 된다. 베팅과 플레이 전략을 위해서는 현재 점수를 남은 카드의 양으로 나눈 [실제 점수(truecount)]를 사용한다. 예를 들어, 현재점수가 2이고 4벌(4 decks)의 카드가 남아 있다면 실제 점수는 1/2이고, 1/2벌이 남아있으면 4이다. 하이로의 베팅 효율은 97%로 거의 완벽에 가깝지만 플레이 효율은 51%로 기본전략을 크게 개선하지는 못한다.

 하이로의 베팅 전략은 실제 점수 0 이하에서는 최소액을 걸고 실제점수 1점이 올라갈 때마다 최소액만큼 올린다. 예를 들어, 최소액이 5달러인 테이블에서는 0점 이하에 5달러, 1점에 10달러, 2점에 15달러 등으로 베팅한다. 이때 플레이 전략은 기본전략과 거의 동일하여 기본전략대로 플레이 하더라도 별 손해가 없다.

 하이로 이후에 개발된 전략들은 각 카드에 정해주는 값들만 다를 뿐 모든면에서 하이로와 동일하다. 이 전략들은 카드값들의 복잡도에 따라 여러 레벨(level)로 나뉘는데 하이로가 가장 간단한 레벨 1 카운팅이다. 레벨이 올라갈수록 각 카드에 보다 정확한 값을 정해 줄 수 있지만 계산하기가 어렵고 실수 위험도 크다.

 그리핀(Griffin)의 전략은 전산기 실험에서나 가능하지 실전에서 쓸 수 있는 사람이 있다고 믿기 어렵다. 또한 베팅 효율은 100%이나 플레이 효율은 54%로 하이로와 비교해 각각 3% 나아진 것이 고작이다.

 굳이 하이로보다 효과적인 방법을 쓰고 싶은 독자들께는 레벨 2인 왕(Wong)의 Halves 전략을 추천한다. 소수점을 피하기 위해 모든 값을 2배로 하여 실전에 쓸 수도 있다.